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ジャンプの高さの計算

いろいろ計算しているrealteckです。

現在、ジャンプをコンセプトとした機体を作ろうと方程式を作っていました。
というわけで一応できたのはここまで。晒しておきます。(違うかもしれないので訂正コメント等いただければ嬉しいです。)
間違えていたらご愛嬌。

まずジャンプという動作を屈伸から急速に直立状態への動作をしたときに、その動作にかかる時間がある程度短ければ直立状態より重心位置が慣性の法則で高く移動しようとし、よって足裏が直立状態のまま一時的に床より上に存在する状態として定義したいと思います。
ジャンプ時の座標(原点を直立時)をy、ジャンプの動作にかかる時間(屈伸から直立までにかかる時間)をt、屈伸から直立状態になった時に重心位置が上がる距離をL、重力加速度をgとすると
式:  y=L^2/(2g*t^2)
となります。これは運動方程式の2ax=V^2-v^2から導き出せます。

ここで実際に数値を入れてみます。
例えば足のピッチ間を80mm(0.08m)とすると屈伸(180°屈伸)から直立状態になるときに重心位置が上がる距離は160mm(0.16m)です。
そして屈伸から直立状態になるまでにかかる時間は、膝がダブルサーボだと仮定すると90°になるときにかかる時間です。
つまりサーボ速度を0.14(60°/sec)とすると、90°でかかる時間は0.21secです。また重力加速度g=9.8(m/s)とすると
式:  y=0.16^2/(2*9.8*0.21^2)=0.0296(m)=29mm≒3cm
はい、そんなわけでkRS-788HVでピッチ間8cmでロボットを組むと、ロボットの重量がサーボの耐えられる重さなら理論上は3cm跳ぶんですね。
しかしこれはあくまで理論上で、サーボ速度は重さによる負荷で変化することも多いですから気をつけてください。
とはいえこの式、y、L、tのどれか2つがわかっていれば成り立つので楽しいです。変形させていろいろ試してみてください。

ちなみにピッチ間80mmで30cmジャンプできるサーボ速度を計算したら0.045(60°/sec)でした。KRS-788HVの0.14(60°/sec)に比べると3倍ぐらい早いです。だから早くするためにサーボを赤く塗ろうかいやなんでもありません

現在増速機構を考案中です。歯車も楽そうですが、長穴の比を変えたらできそうとか思ったりしたのでCADで試してみてます。




最後にROBO-ONE本当にお疲れ様でした。すごく熱く力の入る大会でした。
また大会では決勝戦前にロボット談義に付き合ってくださったA4さん、本当にありがとうございました。
やはり長穴やジュラコンのはなしなど、実際に聞いてみないとわからないことが多かったのですごく参考になりました。
あとRB995が金属ギアのバックラッシがひどいという話や、双葉の安価版が出ている情報もありかがたかったです。

やっぱりテクニカルカンファレンス12での恩返しをきっちりするには、関西に乗り込む必要がありそうですね。来年は本当に関西にも多く行って、ロボットの様々なことを吸収したいと思います。(それまでには新型機も作れるだろう)



最後に次期機体のコンセプトについてですが、こいつは徐々に紹介したいと思います。たぶん計画途中で断念しそうなことばっかり詰め込んだので。
個人的にはU1kg版のサアガ+frostyみたいなイメージです。(←全く想像がつかないww)


ではでは本日はこのへんで。
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さらに補足

書き忘れていましたが、ΔLとΔtは屈伸の度合いによっても変わってきます。Lを直立時の長さとし、屈伸角度(=θ)がそれぞれ同じなら ΔL=L-Lsinθとなるはずです。
Δtもサーボの動く角度によって変化することは自明ですね。
以上、それだけ付け足しで。

式についての補足

説明足らずでスミマセン。ここに途中経過を記します。
まずこの式は鉛直投げ上げ運動のように捉えてまして、ジャンプしますと重力加速度gのみが下方向にかかると仮定してます。
ですのでyをジャンプの最高到達点の高さとしますと、yに達した時の速度は0となります。(これは最高点で速度が0になってからモノは落ちることからもわかるかと)
では初速度はどのように計算するかというと、ジャンプの際、膝を180°屈伸しています。これは太もも(膝より上)とすね(膝より下)がそれぞれ90°ずつ曲がった状態としてます。そうすると足の上と下がそれぞれ90°動いて屈伸状態から直立した時、各々の長さ分だけ上昇します。これが上記でのL(足の上の長さ+足の下の長さ)にあたります。
またサーボ速度を用いて90°動くときの速度を考えます。これが上記でのtです。よってL/tが初速度(=v)にあたります。
2ay=V^2-v^2 で最高点での速度はV(=0)で消えるので、 -v^2=-L^2/t^2 となります。そして欲しいのはyですが、2aで割るときこの加速度は重力加速度gで、更に上方向が正ですので重力加速度は負。よって 2a=-2g となります。
これで y=(-L^2/t^2)/-2g=L^2/(2g*t^2) となります。

以上がこの式の途中経過ですが、正確には v=ΔL/Δt であり、Lについてtで微分した形が正しいのかも、と思ったりする今日この頃です。しかしLとtを直接結びつける関係式はないので、放置しています。
また何度も言うようですが、あくまで理論上で実測していないので参考にでも使ってやってください。

>2ax=V^2-v^2
>って等加速度運動の時のみ成り立つ式じゃありませんでしたっけ?
この質問については、重力加速度による等加速運動である、と結論づけさせていただきたいと思います。

この式は実測値とリンクしてないこともあって未完の感もあり、疑問も多いと思いますので、何かあったらまた質問してください。
長文失礼します。

No title

2ax=V^2-v^2
って等加速度運動の時のみ成り立つ式じゃありませんでしたっけ?
じゃあどうするんだって言われると答えられないんですけど。

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2足歩行ロボットをマターリと製作の大学生。
製作日記はもちろんのこと、ロボットに関する理論・考察等もしてます。
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